平稳性
严平稳：时间序列 ${r_t}$ 是严平稳的，如果对于所有的 $t$ 和任意正整数 $k$ 和任意 $k$ 个正整数 $(t_1,…,t_k)$， $(r_{t_1},…,r_{t_k})$ 的联合分布在时间的平移变换下保持不变。
弱平稳：时间序列 ${r_t}$ 是弱平稳的，如果 $r_t$ 的均值与 $r_{t-l}$ 的协方差不随时间而改变，其中 $l$ 是任意整数。
平稳性序列的生成
在Python中，可以使用 numpy 和 pandas 生成平稳序列：
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
def generate_datapoint(params):
mu = params[0]
sigma = params[1]
return np.random.normal(mu, sigma)
# 序列A
params = (0, 1)
T = 100
A = pd.Series(index=range(T))
A.name = 'A'
for t in range(T):
A[t] = generate_datapoint(params)
plt.plot(A)
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Value')
plt.legend(['Series A'])
plt.show()用类似的办法，生成一个非平稳的序列并命名为 B ：
# 序列B
T = 100
B = pd.Series(index=range(T))
B.name = 'B'
for t in range(T):
# 注意到序列B的均值会随时间变化
params = (t*0.1, 1)
B[t] = generate_datapoint(params)
plt.plot(B)
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Value')
plt.legend(['Series B'])
plt.plot()平稳性序列的检验
使用 statsmodels 库中的ADF检验工具检验序列的平稳性：
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
def check_for_stationarity(X, cutoff=0.01):
pvalue = adfuller(X)[1]
if pvalue < cutoff:
print(f'p-value: {pvalue}. 序列{X.name}可能为平稳序列。')
return True
else:
print(f'p-value: {pvalue}. 序列{X.name}可能为非平稳序列。')
return False
check_for_stationarity(A);
check_for_stationarity(B);以上代码定义了 check_for_stationarity() 函数，这个函数的第一个参数是待检验的序列，第二个参数是ADF检验的阈值，如果 p-value 小于阈值，则认为序列是平稳序列。
输出结果为：
p-value: 1.601227238375676e-14. 序列A可能为平稳序列。
p-value: 0.7343548250851961. 序列B可能为非平稳序列。输出结果表明，序列A的 p-value 非常小，小于代码中设定的阈值（0.01）。因此序列A是平稳序列，而序列B是非平稳序列。