7. 点积与对偶性
两个维数相同的向量 $\vec{v}\cdot\vec{w}$，点积表示对应相乘后相加。如：
$\begin{bmatrix}
3 \\
5 \\
1
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
1
\end{bmatrix} = 3 \times 2 + 5 \times 1 + 1 \times 1 = 12$
它的几何解释为，一个向量在另一个向量上的投影的长度与另一个向量的长度的乘积。如果两个向量垂直，则点积为 $0$ . 如果两个向量的夹角大于 $90°$，则点积为负数。
点积中两个向量的顺序无关。
$ 1 \times 2 $ 矩阵和向量的联系：
假设二维空间中有一个单位长度的向量 $\vec{u}[u_x, u_y]^T$ (该向量有一个自己的方向）, 我们可以沿着这个方向建立一个坐标轴。于是，我们可以将这个二维空间中的向量投影到这个坐标轴上，这种二维到一维的变换显然对应了一个 $ 1 \times 2 $ 的矩阵 $\boldsymbol{A}=[A_x, A_y]$ .
为了确定 $A_x$ 和 $A_y$ ，回忆之前的内容可知，$A_x$ 是二维空间中 $\hat{i}$ 变换后的新坐标，也就是 $\hat{i}$ 在 $\hat{u}$ 方向上的投影（和方向）；而 $A_y$ 是二维空间中 $\hat{j}$ 变换后的新坐标，也就是 $\hat{j}$ 在 $\hat{u}$ 方向上的投影（和方向）。
根据对称性，$\hat{i}$ 在 $\hat{u}$ 方向上的投影的长度应该与 $\hat{u}$ 在 $\hat{i}$ 方向上投影的长度一致（$\hat{i}$ 和 $\hat{u}$ 形成的夹角的角平分线为对称轴）因此，$A_x$ ，也就是$\hat{i}$ 投影的长度应该等于 $\hat{u}$ 在 $\hat{i}$ 方向上的投影长度，也就是 $\hat{u}$ 的横坐标 $u_x$ . 同理可得 $A_y=u_y$ .
因此，这种变换对应的矩阵 $\boldsymbol{A}=[u_x, u_y]$ . 而更巧妙的是，这种变换对任意一个向量${x \brack y}$ 的作用结果 $
[u_x, u_y] { x \brack y } $ 恰好与向量 $\vec{u}$ 与该向量的点积结果一致。
这就是为什么点积可以理解为一个向量与另一个向量投影的乘积。
对于非单位长度的向量，由于投影的线性关系，我们可以理解为先把另一个向量投影，再缩放（为这个非单位长度向量的长度）。
一个 $ 1 \times 2 $ 的矩阵（二维到一维的变换）必定与二维空间中的一个向量对应（对偶性）