6. 逆矩阵、列空间和零空间
系数矩阵 $ \boldsymbol{A} $ ，未知数向量 $\bf\vec{x} $ ，右侧常数向量 $ \bf\vec{v} $.
$ \boldsymbol{A} \bf\vec{x} = \bf\vec{v}$
其中系数矩阵 $ \boldsymbol{A} $ 代表了一个线性变换，对该方程的求解表示需要找到一个向量 $\bf\vec{x} $ ，让它在经过变换后得到向量 $\bf\vec{v} $.
如果 $ \boldsymbol{A} $ 没有把空间压缩至低维（也就是行列式不为 $0$ ，我们可以找到一个向量 $\bf\vec{x} $ ，让它在经过变换后得到向量 $\bf\vec{v} $ . 我们只要对 $\bf\vec{v} $ 将这种线性变换“倒带”回去，就能得到方程组的解 $\bf\vec{x} $ 了。 这种逆向的 “倒带” 对应了另一个线性变换，记作 $ \boldsymbol{A}^{-1} $，即 $ \boldsymbol{A} $ 的逆。
比如，假设 $ \boldsymbol{A} $ 是将平面顺时针旋转 $90°$，那么 $ \boldsymbol{A}^{-1} $ 则代表将平面逆时针旋转 $90°$.
这里， $\boldsymbol{A} =
\begin{bmatrix}
0 & -1 \newline
1 & 0
\end{bmatrix} $$ ，$$\boldsymbol{A}^{-1} =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \newline
-1 & 0
\end{bmatrix} $ .
又比如，假设 $ \boldsymbol{A} $ 是将 $\hat{j}$ 向右剪切移动 $1$ 个单位，那么 $ \boldsymbol{A}^{-1} $ 则代表将 $\hat{j}$ 向左剪切移动 $1$ 个单位。
这里， $\boldsymbol{A} =
\begin{bmatrix}
1 & 1 \newline
0 & 1
\end{bmatrix} $ ，$\boldsymbol{A}^{-1} =
\begin{bmatrix}
1 & -1 \newline
0 & 1
\end{bmatrix} $ .
$ \boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A}$ 表示什么也没做，这种变换被称为恒等变换。
所以求解$ \boldsymbol{A} \bf\vec{x} = \bf\vec{v}$，可以在方程左右两边同时左乘 $ \boldsymbol{A}^{-1} $ ，得到 $\bf\vec{x} = \boldsymbol{A}^{-1} \bf\vec{v}$ .
在几何上，可以理解为对 $\bf\vec{v} $ 做了逆向的变换 $ \boldsymbol{A}^{-1} $ .
如果 $ \det(\boldsymbol{A})$ 为零，也就是矩阵 $ \boldsymbol{A} $ 将空间压缩到了低维度，那么就不存在 $ \boldsymbol{A}^{-1} $，不能把一条线解压成一个平面。
但是，即使 $ \det(\boldsymbol{A})$ 为零，方程组仍然有可能有解。比如，矩阵 $ \boldsymbol{A} $ 将三维空间压成了二维，而 $\bf\vec{v}$ 恰好落在这个变换后的二维平面上。
矩阵的秩（rank）是空间变换后的维数。
当一个矩阵把空间压缩为一条线（一维）时，矩阵的秩为 $1$.
矩阵的列空间（column space）是其列张成的空间，于是，更加精确定义矩阵的秩为，其列空间的维数。当矩阵的秩和列数相等时（最大情况），称矩阵是满秩的（full rank）。
如果一个二维矩阵是满秩的，那么在经过线性变换之后，只有零向量和原先的位置重合。如果一个二维矩阵将平面压成了线，那么则有一条线上的点都被压在了原点上。
三维空间中也是，如果三维矩阵的秩为 $2$，则该矩阵会把空间压成平面，则有一条线上的点被压在原点上。如果三维矩阵的秩为 $1$，则该矩阵会把空间压成直线，则有一整个平面上的点被压在原点上。
这些变换后落在原点上的向量的集合被称为矩阵的零空间（null space）或核（kernel）。
对于线性方程组 $\boldsymbol{A} \bf\vec{x} = \bf\vec{v}$ 来说，当常数项全部为 $0$ 时，矩阵的零空间给出的就是这个方程组所有可能的解（矩阵 $ \boldsymbol{A}$ 把 $\bf\vec{x}$ 压在了原点上）。