5. 行列式
有的矩阵拉伸空间，有的矩阵挤压空间。那么矩阵对空间的拉伸/挤压程度有多少？
如一个矩阵 $
\begin{bmatrix}
3 & 0 \newline
0 & 2
\end{bmatrix} $ 对 $\hat{i}$ 拉伸了 $3$ 倍，对 $\hat{j}$ 拉伸了 $2$ 倍。最初一个 $ 1 \times 1 $ 的小方格最终拉伸成为了一个面积为 $6$ 的长方形格子。
又如，一个剪切矩阵 $
\begin{bmatrix}
1 & 1 \newline
0 & 1
\end{bmatrix} $ 将最初一个 $ 1 \times 1 $ 的小方格最终拉伸成为了平行四边形格子，但面积不变。
一个矩阵 $\mathbf{M}$ 对空间拉伸和挤压的比例被叫做这个矩阵的行列式 $ \det(\mathbf{M}) $
如果一个二维矩阵的行列式为 $0$ ， 则说明这个矩阵把空间压缩到了一条直线（甚至是一个点）上。也就是说，这个矩阵中的向量线性相关。
有些二维矩阵的行列式的值为负数。这表示矩阵的变换中包含了翻转（orientation flipping）。
在三维空间中，一个 $3\times3$ 的矩阵将由基向量构成的立方体变换成平行六面体。矩阵的行列式表示体积的缩放比例，也就是这个平行六面体的体积。
如果一个三维矩阵的行列式为 $0$ ，则说明这个矩阵把空间压缩到了没有体积（如压缩成了平面）。其列向量也必然线性相关。
三维矩阵的行列式的值也可以为负数。这里可以使用“右手定则”，如果变换之后仍然可以用右手指出三个轴的方向，则行列式为正。若必须用左手才能指出，则行列式为负。
两种变换连续进行后对空间的拉伸和他们分别对空间拉伸的乘积相等：
$$ \det(\mathbf{M_1}\mathbf{M_2}) = \det(\mathbf{M_1})\det(\mathbf{M_2})$$