4. 矩阵乘法与线性变换复合
矩阵乘法是一个变换和另一个变换的复合
新的变换永远是左乘，就像复合函数 $f(g(x))$ 一样
如，对一个向量 $\vec{v}$ 进行变换 $\textbf{M}$ ，再变换 $\textbf{N}$ （这里的变换用矩阵表示），那么应该写为 $\textbf{N} \times (\textbf{M} \vec{v})$
做矩阵乘法，需要思考 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 分别去哪了？
如矩阵 $
\mathbf{M_1} =
\begin{bmatrix}
1 & -2 \newline
1 & 0
\end{bmatrix}
$，$
\mathbf{M_2} =
\begin{bmatrix}
0 & 2 \newline
1 & 0
\end{bmatrix}
$
矩阵乘法 $\mathbf{M_2M_1} =
\begin{bmatrix}
0 & 2 \newline
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & -2 \newline
1 & 0
\end{bmatrix} $ . 先看 $M_1$ 的第一列 $
\begin{bmatrix}
1 \newline
1
\end{bmatrix} $ ，它是经过第一次变换后的 $\hat{i}$ ，对它再进行第二次变换（左乘 $\mathbf{M_2}$）即为：
$ \mathbf{M_2}
\begin{bmatrix}
1 \newline
1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 & 2 \newline
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \newline
1 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
2 \newline
1
\end{bmatrix} $ ，也就得到了矩阵乘积的第一列。
按照这个思路，再思考 $\hat{j}$ 去哪了，则用 $\mathbf{M_2}$ 乘以 $\mathbf{M_1}$ 的第二列得到 $
\begin{bmatrix}
0 \newline
-2
\end{bmatrix} $ ，也就是矩阵乘积的第二列。
所以， $\mathbf{M_2M_1} =
\begin{bmatrix}
2 & 0 \newline
1 & -2
\end{bmatrix} $