– 03. 矩阵与线性变换
– 线性变换
– 向量输入 → 线性变换 → 向量输出
– 把线性变换想象成函数
– “变换”一词暗示了我们可以用运动的角度去理解
– 向量输入 → 移动 → 向量输出
– 线性变换之所以是线性，是因为以下两点性质：
– 所有直线在变换后依然是直线，不能弯曲
– 原点必须固定
– 如何用向量描述线性变换呢？
– 只需要关注基向量 $ \hat{i} $ 和 $ \hat{j} $ 的运动变换，空间中的其他向量会随之变换。
– 变换后，空间中其他向量仍是 $ \hat{i} $ 和 $ \hat{j} $ 的线性组合，且$ \hat{i} $ 和 $ \hat{j} $ 前的系数保持不变
– 如: 向量 $\vec{v}=[-1,2]^T$，即 $\vec{v} = -1\hat{i}+ 2 \hat{j} $
– 则: $\vec{v}_{变换后} = -1\hat{i}_{变换后} + 2 \hat{j}_{变换后} $
– 若 $\hat{i}_{变换后} = [1,-2]^T$ ，$\hat{j}_{变换后} = [3,0]^T$ ，那么 $\vec{v}_{变换后} = [-1(1)+2(3),-1(-2)+2(0)]^T = [5,2] ^T$
– 只要记住 $ \hat{i} $ 和 $ \hat{j} $ 的变化（他们在变换后的坐标），就能推到出任意向量 $ [x,y]^T $ 变换后的位置。
$$ \begin{bmatrix} x \newline y \end{bmatrix} \rightarrow x \begin{bmatrix} 1 \newline -2 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 3 \newline 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1x+3y \newline -2x+0y \end{bmatrix} $$– 一个线性变换完全由描述 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 变换情况的四个数字决定。
– 我们可以将这四个数字组合起来，写成一个 $2 \times 2$ 的矩阵：
$$\begin{bmatrix} 3 & 2 \newline -2 & 1 \end{bmatrix}$$– 其中 $ \begin{bmatrix} 3 \newline -2 \end{bmatrix} $ 表示变换后的 $ \hat{i} $ ， $ \begin{bmatrix} 2 \newline -1 \end{bmatrix} $ 表示变换后的 $ \hat{j} $ .
– 于是我们可以了解矩阵对一个向量起到了伸缩变换作用，也就是矩阵乘法（注意矩阵在前面，向量在后面）
$$\begin{bmatrix} 3 & 2 \newline -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \newline 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \newline 2 \end{bmatrix} $$